რა განსხვავებაა ხვრელსა და ვერტიკალურ ასიმპტომს შორის რაციონალური ფუნქციისთვის?


პასუხი 1:

ციტატავენ ჩემს ერთ მათემატიკის მასწავლებელს საშუალო სკოლაში:

"თქვენ არ უნდა გაიყოთ ნულზე."

ზოგჯერ ეს ნულოვანი რიცხვია დაყოფილია ნულზე:

40\frac{4}{0}

ეს ნიშნავს, რომ არსებობს რიცხვი, რომლის მიხედვითაც მრავლდება

00

ამით დასრულდება

44

. (Mumpitz!)

ზოგჯერ ის ნულია დაყოფილია ნულის მიხედვით:

00\frac{0}{0}

ჰმმ. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს (სინგური) ნომერი, რომელზეც იყოფა

00

ამით დასრულდება

00

. ერთი შეხედვით, მოსწავლემ შეიძლება იფიქროს, რომ რიცხვი არის

00

მას შემდეგ, რაც

0×0=00\times0=0

. მაგრამ კიდევ ერთი სტუდენტი, რომელსაც ახსოვს, რომ თითოეულში დაყოფილია თითოეული ნომერი, 1 ამტკიცებს, რომ მას შემდეგ ფრაქციის ღირებულება 1 იყო

1×0=01\times0=0

.Anotherstudentfeelsthenumberis283since283×0=0.Sincethereareaninfinitenumberofanswers,to[math]00[/math],thereisreallyNOdefinitionfor[math]00[/math].. Another student feels the number is 283 since 283\times0=0. Since there are an infinite number of answers, to [math]\frac{0}{0}[/math], there is really NO definition for [math]\frac{0}{0}[/math].

ახლა განვიხილოთ რაციონალური ფუნქცია, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი ამოღებულია.

(x+2)(x+4)(x2)(x3)(x2)(x+4)(x9)(x+8)\frac{(x+2)(x+4)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+4)(x-9)(x+8)}

ზემოთ მოცემულ ჩვენს რაციონალურ ფუნქციაში, შეზღუდვები დომენაშია

xx ≠

-8, -4, 2, 9}.

დიაგრამის ვერტიკალური ასიმპტოტები და ხვრელები მოცემულია დომენის შეზღუდვებში. ეს შეზღუდვები გამოწვეულია იმ შემთხვევაში, როდესაც ღირებულება

xx

ეს იქნება გაყოფის მცდელობა

00

.

აღმოჩნდება, რომ ამ შეზღუდვებიდან ორი არის

xx

- სქემაში მოცემული ხვრელის კოორდინაცია, დანარჩენი ორი კი ვერტიკალური ასიმპტომებია.

მე მომწონს 1-ის ჭკვიანური ფორმების პოვნა და მათი ფაქტორებისგან გამიჯვნა:

x2x2x+4x+4(x+2)(x3)(x9)(x+8)\frac{x-2}{x-2}·\frac{x+4}{x+4}·\frac{(x+2)(x-3)}{(x-9)(x+8)}

1-ის ჭკვიანი ფორმები ყოველთვის არის 1, თუ მრიცხველი და მნიშვნელი 0 არ არის

xx

-ხვრელების კოორდინატებია 2 და -4.

ვერტიკალური ასიმპტოტები გვხვდება x ყველა დანარჩენ შეზღუდულ მნიშვნელობებში, რომლებიც არ წარმოადგენს ხვრელების x- კოორდინატებს. ჩემი მაგალითით, ესენი არიან

x=9x=9

და

x=8x=-8

.


პასუხი 2:

რაციონალური ფუნქციის გრაფიკი უწყვეტია იქ, სადაც ეს განსაზღვრულია. ხვრელი არის წერტილი, რომლის დროსაც ფუნქცია განუსაზღვრელია.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

მასში ხვრელი აქვს

x=2x=2

.

თუ გავარკვევთ

x2x-2

ჩვენ ვიღებთ ზემოდან და ქვემოდან

y=x+2y=x+2

.

გრაფიკი სწორი ხაზია

y=x+2y=x+2

მაგრამ წერტილი

(2,4)(2,4)

დიაგრამადან აკლია (რადგან იგი არასდროს ყოფილა განსაზღვრული

x=2x=2

).

ვერტიკალური ასიმპტოტი ხდება მაშინ, როდესაც მნიშვნელი უახლოვდება ნულს.

მაგ

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

გაურკვეველია at

x=0x=0

. თუმცა, თუ გრაფიკას გადავხედავთ,

yy

მიდის

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

აქ

x=0x=0

(Y ღერძი) ეწოდება ვერტიკალურ ასიმპტომს.

გენერალი

1xa\frac{1}{x-a}

აქვს ვერტიკალური ასიმპტოტი

x=ax=a

.

ვერტიკალური ასიმპტოტი არის ვერტიკალური ხაზი, რომელიც შედგენილია იმ წერტილში, რომლის გარშემოც ფუნქცია იწევს

±\pm \infty

,

ხვრელი არის წერტილი, რომელზეც გრაფიკი "იშლება".


პასუხი 3:

რაციონალური ფუნქციის გრაფიკი უწყვეტია იქ, სადაც ეს განსაზღვრულია. ხვრელი არის წერტილი, რომლის დროსაც ფუნქცია განუსაზღვრელია.

[მათემატიკა] y = \ frac {x ^ 2-4} {x-2} [/ მათემატიკა]

მასში ხვრელი აქვს

[მათემატიკა] x = 2 [/ მათემატიკა]

.

თუ გავარკვევთ

[მათემატიკა] x-2 [/ მათემატიკა]

ჩვენ ვიღებთ ზემოდან და ქვემოდან

[მათემატიკა] y = x + 2 [/ მათემატიკა]

.

გრაფიკი სწორი ხაზია

[მათემატიკა] y = x + 2 [/ მათემატიკა]

მაგრამ წერტილი

[მათემატიკა] (2.4) [/ მათემატიკა]

დიაგრამადან აკლია (რადგან იგი არასდროს ყოფილა განსაზღვრული

[მათემატიკა] x = 2 [/ მათემატიკა]

).

ვერტიკალური ასიმპტოტი ხდება მაშინ, როდესაც მნიშვნელი უახლოვდება ნულს.

მაგ

[მათემატიკა] y = \ frac {1} {x} [/ მათემატიკა]

,

[მათემატიკა] y [/ მათემატიკა]

გაურკვეველია at

[მათემატიკა] x = 0 [/ მათემატიკა]

. თუმცა, თუ გრაფიკას გადავხედავთ,

[მათემატიკა] y [/ მათემატიკა]

მიდის

[მათემატიკა] + \ ინტეგრირებული [/ მათემატიკა]

[მათემატიკის] მარჯვენა მხრიდან 0 [/ მათემატიკა] და მარცხნივ მიჰყვება [მათემატიკას] - \ ძირს [/ მათემატიკას]:

აქ

[მათემატიკა] x = 0 [/ მათემატიკა]

(Y ღერძი) ეწოდება ვერტიკალურ ასიმპტომს.

გენერალი

[მათემატიკა] \ frac {1} {xa} [/ მათემატიკა]

აქვს ვერტიკალური ასიმპტოტი

[მათემატიკა] x = a [/ მათემატიკა]

.

ვერტიკალური ასიმპტოტი არის ვერტიკალური ხაზი, რომელიც შედგენილია იმ წერტილში, რომლის გარშემოც ფუნქცია იწევს

[მათემატიკა] \ pm \ infty [/ math]

,

ხვრელი არის წერტილი, რომელზეც გრაფიკი "იშლება".


პასუხი 4:

რაციონალური ფუნქციის გრაფიკი უწყვეტია იქ, სადაც ეს განსაზღვრულია. ხვრელი არის წერტილი, რომლის დროსაც ფუნქცია განუსაზღვრელია.

[მათემატიკა] y = \ frac {x ^ 2-4} {x-2} [/ მათემატიკა]

მასში ხვრელი აქვს

[მათემატიკა] x = 2 [/ მათემატიკა]

.

თუ გავარკვევთ

[მათემატიკა] x-2 [/ მათემატიკა]

ჩვენ ვიღებთ ზემოდან და ქვემოდან

[მათემატიკა] y = x + 2 [/ მათემატიკა]

.

გრაფიკი სწორი ხაზია

[მათემატიკა] y = x + 2 [/ მათემატიკა]

მაგრამ წერტილი

[მათემატიკა] (2.4) [/ მათემატიკა]

დიაგრამადან აკლია (რადგან იგი არასდროს ყოფილა განსაზღვრული

[მათემატიკა] x = 2 [/ მათემატიკა]

).

ვერტიკალური ასიმპტოტი ხდება მაშინ, როდესაც მნიშვნელი უახლოვდება ნულს.

მაგ

[მათემატიკა] y = \ frac {1} {x} [/ მათემატიკა]

,

[მათემატიკა] y [/ მათემატიკა]

გაურკვეველია at

[მათემატიკა] x = 0 [/ მათემატიკა]

. თუმცა, თუ გრაფიკას გადავხედავთ,

[მათემატიკა] y [/ მათემატიკა]

მიდის

[მათემატიკა] + \ ინტეგრირებული [/ მათემატიკა]

[მათემატიკის] მარჯვენა მხრიდან 0 [/ მათემატიკა] და მარცხნივ მიჰყვება [მათემატიკას] - \ ძირს [/ მათემატიკას]:

აქ

[მათემატიკა] x = 0 [/ მათემატიკა]

(Y ღერძი) ეწოდება ვერტიკალურ ასიმპტომს.

გენერალი

[მათემატიკა] \ frac {1} {xa} [/ მათემატიკა]

აქვს ვერტიკალური ასიმპტოტი

[მათემატიკა] x = a [/ მათემატიკა]

.

ვერტიკალური ასიმპტოტი არის ვერტიკალური ხაზი, რომელიც შედგენილია იმ წერტილში, რომლის გარშემოც ფუნქცია იწევს

[მათემატიკა] \ pm \ infty [/ math]

,

ხვრელი არის წერტილი, რომელზეც გრაფიკი "იშლება".